题目

[USACO 20OPEN] Exercise G

分析

问题就是求 $K$ 的和，使得存在 $\{a_i\}$ 满足 $\text{lcm}{a}_i=K,\sum a_i=N$，将所有 $a_i$ 分解质因数后 $K$ 就是它们质因数对应最高次数的乘积。考虑枚举 $K$ 各个质因数的以及它们的幂，其之和不会超过 $N$，通过算贡献的方法进行背包即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

int Read() {
	int x = 0; bool f = false; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9')
		f |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9')
		x = x * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
	return f ? -x : x;
}

typedef long long LL;

const int MAXN = 10000;

int N, M;

bool Vis[MAXN + 5];
int Pri[MAXN + 5], Cnt;

void Init(const int &n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!Vis[i])
			Pri[++Cnt] = i;
		for (int j = 1; j <= Cnt && i * Pri[j] <= n; j++) {
			Vis[i * Pri[j]] = true;
			if (i % Pri[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

LL Dp[MAXN + 5];

int main() {
	N = Read(), M = Read();
	Init(N);
	Dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= Cnt; i++) {
		for (int j = N; j >= Pri[i]; j--) {
			int cur = Pri[i];
			while (cur <= j)
                Dp[j] = (Dp[j] + Dp[j - cur] * cur % M) % M, cur *= Pri[i];
		}
	}
	LL Ans = 0;
	for (int i = 0; i <= N; i++)
		Ans = (Ans + Dp[i]) % M;
	printf("%lld", Ans);
	return 0;
}