二分查找算法（折半查找算法）图文详解

二分查找又称折半查找，是一种基于分治思想的快速搜索算法，时间复杂度为O(logn)。

二分查找算法只适用于有序序列，换句话说，只有保证序列有序的情况下，才能使用二分查找算法。

二分查找算法的基本原理

以在升序序列中查找目标元素为例，二分查找算法的搜索过程是：找到搜索区域内的中间元素，和目标元素进行比对：

• 如果相等，则成功找到目标元素，返回该元素所在的位置；

• 如果目标元素的值大于中间元素，表明目标元素位于中间元素的右侧，因此以中间元素的右侧区域作为新的搜索区域，继续以同样的方法查找目标元素；

• 如果目标元素的值小于中间元素，表明目标元素位于中间元素的左侧，因此以中间元素的左侧区域作为新的搜索区域，继续以同样的方法查找目标元素；

举个例子，在下图所示的序列中，使用二分查找算法搜索元素 31 的过程是：

1) 找到搜索区域内的中间元素，可以使用如下公式求得中间元素的位置：

mid = ? low + (high - low) / 2 ?

其中，low 表示搜索区域第一个元素所在位置的下标，high 表示搜索区域最后一个元素所在位置的下标。

图 1 中，搜索区域为整个序列，中间元素的位置为 ?0+(9-0)/2?= 4，如下图所示（箭头指向的元素为中间元素）：

2) 由于 27< 31，因此搜索区域更新为元素 27 的右侧区域，如下图所示：

重复执行第 1 步，搜索区域内的中间元素下标为 ?5+(9-5)/2? = 7，因此新的中间元素是 35，如下图所示：

3) 由于 35>31，因此搜索区域再次更新为元素 35 左侧的区域，如图 5 所示：

重复执行第 1 步，搜索区域内的中间元素下标为 ?5+(6-5)/2? = 5，因此新的中间元素为 31，和目标元素相等，所以查找成功。

二分查找算法的具体实现

如下为实现二分查找算法的伪代码：

输入 arr[]                                                                        // 输入有序序列
binary_search( arr , p , q , ele):                                      // [p,q] 指定搜索区域，ele 为要搜索的目标元素
    if p > q:                                                                     // [p,q] 不存在时，返回一个错误值（比如 -1）
        return -1
    mid <- ?p+(q-p)/2?                                                   // 找到 [p,q] 区域内中间元素所在位置的下标
    if ele == arr[mid]:                                                     // 递归的出口，即 ele 和中间元素的值相等
        return mid
    if ele ＜ arr[mid]:                                                     // 比较 ele 和中间元素的值，进一步缩小搜索区域
        return binary_search(arr , p , mid-1 , ele)
    else:
        return binary_search(arr , mid+1 , q , ele)

如下为实现二分查找算法的 C 语言程序：

#include <stdio.h>
//实现二分查找算法，ele 表示要查找的目标元素，[p,q] 指定查找区域
int binary_search(int *arr,int p,int q,int ele) {
    int mid = 0;
    //如果[p,q] 不存在，返回 -1
    if (p > q) {
        return -1;
    }
    // 找到中间元素所在的位置
    mid = p + (q - p) / 2;
    //递归的出口
    if (ele == arr[mid]) {
        return mid;
    }
    //比较 ele 和 arr[mid] 的值，缩小 ele 可能存在的区域
    if (ele < arr[mid]) {
        //新的搜索区域为 [p,mid-1]
        return binary_search(arr, p, mid - 1, ele);
    }
    else {
        //新的搜索区域为 [mid+1,q]
        return binary_search(arr, mid + 1, q, ele);
    }
}

int main()
{
    int arr[10] = { 10,14,19,26,27,31,33,35,42,44 };
    //输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
    printf("%d", binary_search(arr, 0, 9, 31));
    return 0;
}

如下为实现二分查找算法的 Java 程序：

public class Demo {
    // 实现二分查找算法，ele 表示要查找的目标元素，[p,q] 指定查找区域
    public static int binary_search(int[] arr, int p, int q, int ele) {
        // 如果[p,q] 不存在，返回 -1
        if (p > q) {
            return -1;
        }
        // 找到中间元素所在的位置
        int mid = p + (q - p) / 2;
        // 递归的出口
        if (ele == arr[mid]) {
            return mid;
        }
        // 比较 ele 和 arr[mid] 的值，缩小 ele 可能存在的区域
        if (ele < arr[mid]) {
            // 新的搜索区域为 [p,mid-1]
            return binary_search(arr, p, mid - 1, ele);
        } else {
            // 新的搜索区域为 [mid+1,q]
            return binary_search(arr, mid + 1, q, ele);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[] { 10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44 };
        // 输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
        int add = binary_search(arr, 0, 9, 31);
        System.out.print(add);
    }
}

如下为实现二分查找算法的 Python 程序：

格式化复制

#实现二分查找算法，ele 表示要查找的目标元素，[p,q] 指定查找区域
def binary_search(arr,p,q,ele):
    #如果[p,q] 不存在，返回 -1
    if p > q:
        return -1
    #找到中间元素所在的位置
    mid = p + int( (q - p) / 2 )
    #递归的出口
    if ele == arr[mid]:
        return mid
    #比较 ele 和 arr[mid] 的值，缩小 ele 可能存在的区域
    if ele < arr[mid]:
        return binary_search(arr,p,mid-1,ele)
    else:
        return binary_search(arr,mid+1,q,ele)

arr = [10, 14, 19, 26, 27, 31, 33, 35, 42, 44]
#输出二叉查找元素 31 所在位置的下标
add = binary_search(arr, 0, 9, 31);
print(add)

以上程序的输出结果均为：

5