克鲁斯卡尔算法图文详解
- 作者: 一天能吃两碗饭
- 来源: 51数据库
- 2022-09-23
连通图中寻找最小生成树的常用算法有 2 种，分别是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。本节，我们将带您详细了解克鲁斯卡尔算法。
和普里姆算法类似，克鲁斯卡尔算法的实现过程也采用了贪心的策略：对于具有 n 个顶点的图，将图中的所有路径（边）按照权值大小进行升序排序，从权值最小的路径开始挑选，只要此路径不会和已选择的其它路径构成环路，就选定其作为最小生成树的一部分，直至选够 n-1 条路径。
对于具有 n 个顶点的图，选择 n-1 条路径就可以将所有顶点连接起来。在此基础上，保证所选的每条路径的权值都最小，就可以找到一棵最小生成树。
图 1 图存储结构
以图 1 所示的连通图为例，克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树的过程为：
1) 将所有路径（边）按照权值大小进行升序排序：
2) 从最小的路径开始，只要该路径不会和其它已选路径产生环路，就选择它作为组成最小生成树的一部分。显然 (B,D) 符合要求，选择它组成最小生成树：
图 2 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 1
3) (D,T) 不会和已选路径 (B,D) 构成环路，可以组成最小生成树：
图 3 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 2
4) (A,C) 不会和 (B,D)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：
图 4 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 3
5) (C,D) 不会和 (A,C)、(B,D)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：
图 5 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 4
6) (C,B) 会和已选路径 (C,D)、(B,D) 构成环路（如图 6 所示），因此不会被选择：
图 6 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 5
7) (B,T) 会和已选路径 (B,D)、(D,T) 构成环路，也不被选择；
8) (A,B) 会和已选路径 (A,C)、(C,D)、(D,B) 构成环路，也不被选择；
9) (S,A) 不会和已选路径 (A,C)、(C,D)、(D,B)、(D,T) 构成环路，可以组成最小生成树：
图 7 克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树_过程 6
图 1 中的图结构共有 6 个顶点，我们已经选择了 5 条路径，因此算法执行结束，图 7 所示即为最终找到的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法的具体实现
克鲁斯卡尔算法的实现，难点在于如何判断所选路径是否会造成环路，这里给您介绍一种简单的解决方案：初始状态下，为图中的每个顶点配备一个互不相同的标记值，算法执行过程中，如果新路径两个顶点的标记值不同，则不会构成环路，该路径被选择的同时，要将两个顶点的标记改为和其它已选路径中的顶点标记相同；反之，如果该路径两个顶点的标记值相同，则会构成环路。
举个例子，图 5 中，已选路径为 (A,C)、(B,D)、(C,D)、(D,T)，此时顶点 A、C、B、D、T 的标记值相同，顶点 S 的标记值和它们不同。图 6 中，判定 (B,C) 路径是否可以组成最小生成树时，由于顶点 B 和 C 的标记值相同，因此该路径会和其它已选路径构成环路（如图 6 所示），不能组成最小生成树。
如下为实现克鲁斯卡尔算法的 C 语言程序：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 9 // 图中边的数量
#define P 6 // 图中顶点的数量
//构建表示边的结构体
struct edge {
//一条边有 2 个顶点
int initial;
int end;
//边的权值
int weight;
};
//qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序
int cmp(const void *a, const void*b) {
return ((struct edge*)a)->weight - ((struct edge*)b)->weight;
}
//克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树，edges 存储用户输入的图的各个边，minTree 用于记录组成最小生成树的各个边
void kruskal_MinTree(struct edge edges[], struct edge minTree[]) {
int i,initial, end;
//每个顶点配置一个标记值
int assists[P];
int num = 0;
//初始状态下，每个顶点的标记都不相同
for (i = 0; i < P; i++) {
assists[i] = i;
}
//根据权值，对所有边进行升序排序
qsort(edges, N, sizeof(edges[0]), cmp);
//遍历所有的边
for (int i = 0; i < N; i++) {
//找到当前边的两个顶点在 assists 数组中的位置下标
initial = edges[i].initial - 1;
end = edges[i].end - 1;
//如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路
if (assists[initial] != assists[end]) {
//记录该边，作为最小生成树的组成部分
minTree[num] = edges[i];
//计数+1
num++;
int elem = assists[end];
//将新加入生成树的顶点标记全部改为一样的
for (int k = 0; k < P; k++) {
if (assists[k] == elem) {
assists[k] = assists[initial];
}
}
//如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环
if (num == P - 1) {
break;
}
}
}
}
void display(struct edge minTree[]) {
int cost = 0;
printf("最小生成树为:\n");
for (int i = 0; i < P - 1; i++) {
printf("%d-%d 权值：%d\n", minTree[i].initial, minTree[i].end, minTree[i].weight);
cost += minTree[i].weight;
}
printf("总权值为：%d", cost);
}
int main() {
int i;
struct edge edges[N], minTree[P - 1];
for (i = 0; i < N; i++) {
scanf("%d %d %d", &edges[i].initial, &edges[i].end, &edges[i].weight);
}
kruskal_MinTree(edges,minTree);
display(minTree);
return 0;
}
如下为实现克鲁斯卡尔算法的 Java 程序：
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class prim {
static int N = 9; // 图中边的数量
static int P = 6; // 图中顶点的数量
//构建表示路径的类
public static class edge implements Comparable<edge>{
//每个路径都有 2 个顶点和 1 个权值
int initial;
int end;
int weight;
public edge(int initial, int end, int weight) {
this.initial = initial;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
//对每个 edge 对象根据权值做升序排序
@Override
public int compareTo(edge o) {
return this.weight - o.weight;
}
}
public static void kruskal_MinTree(edge[] edges,edge [] minTree) {
int []assists = new int[P];
//每个顶点配置一个不同的标记值
for (int i = 0; i < P; i++) {
assists[i] = i;
}
//根据权值，对所有边进行升序排序
Arrays.sort(edges);
//遍历所有的边
int num = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
//找到当前边的两个顶点在 assists 数组中的位置下标
int initial = edges[i].initial - 1;
int end = edges[i].end - 1;
//如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路
if (assists[initial] != assists[end]) {
//记录该边，作为最小生成树的组成部分
minTree[num] = edges[i];
//计数+1
num++;
int elem = assists[end];
//将新加入生成树的顶点标记全不更改为一样的
for (int k = 0; k < P; k++) {
if (assists[k] == elem) {
assists[k] = assists[initial];
}
}
//如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环
if (num == P - 1) {
break;
}
}
}
}
public static void display(edge [] minTree) {
System.out.println("最小生成树为：");
int cost = 0;
for (int i = 0; i < P - 1; i++) {
System.out.println(minTree[i].initial+" - "+ minTree[i].end+" 权值为："+minTree[i].weight);
cost += minTree[i].weight;
}
System.out.print("总权值为:"+cost);
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scn = new Scanner(System.in);
edge[] edges = new edge[N];
edge[] minTree = new edge[P-1];
System.out.println("请输入图中各个边的信息：");
for(int i=0;i<N;i++) {
int initial = scn.nextInt(), end = scn.nextInt(), weight = scn.nextInt();
edges[i] = new edge(initial,end,weight);
}
kruskal_MinTree(edges,minTree);
display(minTree);
}
}
如下为实现克鲁斯卡尔算法的 Python 程序：
N = 9 #图中边的数量
P = 6 #图中顶点的数量
#构建表示边的结构体
class edge:
#一条边有 2 个顶点
initial = 0
end = 0
#边的权值
weight = 0
def __init__(self,initial,end,weight):
self.initial = initial
self.end = end
self.weight = weight
edges = [] # 用于保存用户输入的图各条边的信息
minTree=[] # 保存最小生成数各个边的信息
#输入 N 条边的信息
for i in range(N):
li = input().split()
initial = int(li[0])
end = int(li[1])
weight = int(li[2])
edges.append(edge(initial,end,weight))
# 根据 weight 给 edges 列表排序
def cmp(elem):
return elem.weight
#克鲁斯卡尔算法寻找最小生成树
def kruskal_MinTree():
#记录选择边的数量
num = 0
#为每个顶点配置一个不同的标记
assists = [i for i in range(P)]
#对 edges 列表进行排序
edges.sort(key = cmp)
#遍历 N 条边，从重选择可组成最小生成树的边
for i in range(N):
#找到当前边的两个顶点在 assists 数组中的位置下标
initial = edges[i].initial -1
end = edges[i].end-1
# 如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路
if assists[initial] != assists[end]:
# 记录该边，作为最小生成树的组成部分
minTree.append(edges[i])
#计数+1
num = num+1
#将新加入生成树的顶点标记全部改为一样的
elem = assists[end]
for k in range(P):
if assists[k] == elem:
assists[k]= assists[initial]
#如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环
if num == P-1:
break
def display():
cost = 0
print("最小生成树为:")
for i in range(P-1):
print("%d-%d 权值：%d"%(minTree[i].initial, minTree[i].end, minTree[i].weight))
cost = cost + minTree[i].weight
print("总权值为:%d"%(cost))
kruskal_MinTree()
display()
以图 1 所示的图结构为例，以上程序的输出结果均为：
5 1 7
5 3 8
1 2 6
1 3 3
3 2 4
3 4 3
2 4 2
2 6 5
4 6 2
最小生成树为:
2-4 权值：2
4-6 权值：2
1-3 权值：3
3-4 权值：3
5-1 权值：7
总权值为：17
