数据结构算法(思维+欧拉函数)

作者: 汪之左手
来源: 51数据库
2021-07-30

A Very Easy Math Problem

Description
有一天ZKL遇到一道数学题。给定三个正整数a,b,m，问有多少个整数x满足0≤x<m并且gcd(a+b,m)=gcd(b-a+x,m)。但是这对于号称“数学天才”的ZKL来说过于简单了，所以现在她把这道问题抛给了你。

gcd(a,b)代表a和b的最大公约数。

Input
第一行一个整数T代表有T组询问。(1≤T≤10)

接下来T行每行三个整数a,b,m(1≤a≤b≤1e12 , 1≤m≤1e12)。

Output
T行，第i行代表第i组询问中，满足条件的x的数量

Samples
input
3
1 2 3
2 2 9
12 123 1234
output
1
6
616
Author
QIU, Longfeng

思路： 令tmp=gcd(a+b,m)，问你有几个x满足gcd(b-a+x,m)==tmp。根据欧几里得算法，gcd(b-a+x,m) == gcd(m,(b-a+x)%m)。此时我们令k=(b-a+x)%m，因为0<=x<m，所以我们可以发现一个x对应一个k，同时k的范围0<=k<m。然后我们就可以将题目转化为0<=k<m，求满足gcd(m,k)==tmp式子k的数量。我们可以发现当k == 0时与k == m时gcd(m,k)都等于m，于是我们可以将k的范围转化成0<k<=m，我们可以得到一下式子，再经过转化，我们可以得到所求即为小于等于(m/tmp)且与(m/tmp)互质的数的数量就是求φ(m/tmp)。

#include<list> #include<string.h> #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> #include<string> #include<cstring> #include<vector> #include<map> #include<deque> #include<stack> #include<queue> #include<set> #include<iomanip> #include<cstdlib> #include<stdexcept> #include<fstream> #include<iterator> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; const int maxn = 1e6+10; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int Base =131; const ll INF = 1ll << 62; //const double PI = acos(-1); const double eps = 1e-7; const int mod = 1e9+7; #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define speed {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0); } inline ll gcd(ll a, ll b){ while (b ^= a ^= b ^= a %= b); return a; } ll Euler(ll n) {//求φ(m/tmp) ll res = n; for (ll i = 2; i*i <= n; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i - 1);//先除防止数据溢出 while (n % i == 0)n /= i; } } if (n > 1)res = res / n * (n - 1); return res; } int main(){ int T; scanf("%d",&T); while(T--){ ll a,b,m; scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&m); ll tmp=gcd(a+b,m); printf("%lld\n",Euler(m/tmp)); } //system("pause"); return 0; }